| \vec{x}]_{\mathcal{C}} = P_{\mathcal{B} \to \mathcal{C}} [\vec{x}]_{\mathcal{B}} $$ 其中，$ [\vec{x}]_{\mathcal{B}} $ 表示向量 $ \vec{x} $ 在基 $ \mathcal{B} $ 下的坐标，$ [\vec{x}]_{\mathcal{C}} $ 表示其在基 $ \mathcal{C} $ 下的坐标。 二、求过渡矩阵的方法总结 | 步骤 | 内容说明 | | 1. 确定两个基 | 设基 $ \mathcal{B} = \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \} $ 和基 $ \mathcal{C} = \{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, \dots, \vec{w}_n \} $ | | 2. 将基 $ \mathcal{B} $ 中的每个向量表示为基 $ \mathcal{C} $ 的线性组合 | 即对每个 $ \vec{v}_i $，找到一组系数 $ a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in} $，使得：$ \vec{v}_i = a_{i1}\vec{w}_1 + a_{i2}\vec{w}_2 + \cdots + a_{in}\vec{w}_n $ | | 3. 构造过渡矩阵 | 将上述每个 $ \vec{v}_i $ 在基 $ \mathcal{C} $ 下的坐标作为列向量，依次排列成一个矩阵，即为过渡矩阵 $ P_{\mathcal{B} \to \mathcal{C}} $ |
三、例子说明 假设在 $ \mathbb{R}^2 $ 中有两个基： - 基 $ \mathcal{B} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} $ - 基 $ \mathcal{C} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\} $ 我们想求从 $ \mathcal{B} $ 到 $ \mathcal{C} $ 的过渡矩阵。 步骤： 1. 将 $ \mathcal{B} $ 中的每个向量用 $ \mathcal{C} $ 表示： - $ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = a_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + a_2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $ - $ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = b_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + b_2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $ 2. 解方程组得到系数： - 对于第一个向量，解得 $ a_1 = \frac{1}{2}, a_2 = \frac{1}{2} $ - 对于第二个向量，解得 $ b_1 = \frac{1}{2}, b_2 = -\frac{1}{2} $ 3. 过渡矩阵为： $$ P_{\mathcal{B} \to \mathcal{C}} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} $$ 四、注意事项 - 过渡矩阵是可逆的，因为两个基都是线性无关的。 - 若已知从 $ \mathcal{C} $ 到 $ \mathcal{B} $ 的过渡矩阵，则其逆矩阵即为从 $ \mathcal{B} $ 到 $ \mathcal{C} $ 的过渡矩阵。 - 过渡矩阵与基的选择密切相关，不同的基会得到不同的过渡矩阵。 五、总结 | 项目 | 内容 | | 定义 | 过渡矩阵用于在不同基之间转换向量的坐标 | | 求法 | 将原基中的每个向量表示为新基的线性组合，构造矩阵 | | 关键点 | 确定基、求线性组合系数、构造矩阵 | | 应用 | 坐标变换、线性变换、向量空间分析等 |
通过以上步骤，我们可以系统地理解和计算过渡矩阵，从而更好地掌握线性代数中基变换的核心思想。 |